Maria Eduarda Peloggia Lunardelli

Com origem no século VI a. C., a teoria dos números começou a ganhar forma como campo rigoroso de estudo ainda na Grécia Antiga. Movidos pela crença de que os números constituíam a base do funcionamento do mundo, estudiosos se dedicaram a investigar relações entre os números inteiros, a fim de compreender as propriedades que apresentavam. 

Ao longo dos séculos, esses resultados foram ampliados, revisados e aprofundados, dando origem a um dos ramos mais vastos e densos da matemática pura. Hoje, a teoria dos números é essencial em cursos de graduação e pós-graduação em Matemática, Ciência e Engenharia da Computação, Engenharia Elétrica e de Telecomunicações, Estatística e Física – e desempenha papel fundamental na criptografia moderna.

Diante da importância e da complexidade do tema, Renato Belinelo Bortolatto reuniu, em Teoria dos números: uma abordagem didática com aplicações à criptografia, um curso introdutório dirigido a alunos de graduação e ao público geral interessado em compreender os fundamentos da área. O autor busca destacar os aspectos computacionais, a complexidade das resoluções e as possibilidades de implementação de conceitos fundamentais. 

Professor do Departamento de Matemática do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), Renato Belinelo Bortolatto é licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP), instituição onde também realizou mestrado e doutorado em Matemática Aplicada, com pesquisas voltadas à área de sistemas dinâmicos.  É autor de Equações com derivadas parciais: conceitos fundamentais (Edusp, 2023), livro didático voltado a estudantes de matemática, engenharias e física, e agora lança Teoria dos números: uma abordagem didática com aplicações à criptografia (Editora da Unicamp, 2025). 

O novo título foi pensado como um material didático para todos aqueles interessados nas áreas de exatas, mas principalmente para estudantes de Matemática e Ciência da Computação, que precisam do domínio desse conteúdo para a aplicação em diferentes situações. Além de seu interesse acadêmico, o autor também traz para a obra uma motivação pessoal, já que seu contato com a teoria dos números teve início ainda no período escolar. Ao combinar essas duas motivações, Bortolatto cria um material que instiga os leitores a testarem ideias, explorar conceitos e aprofundar-se nos resultados apresentados. 

A obra é composta de doze capítulos teóricos organizados de forma progressiva, possibilitando que o leitor avance dos fundamentos aos tópicos mais complexos. O livro inclui ainda Prefácio, Apêndice com conteúdos complementares e textos conclusivos que ampliam a compreensão da teoria. 

Cada capítulo é dedicado a um conceito específico da teoria dos números, exposto de maneira clara e detalhada, com sugestões e indicações didáticas semelhantes às de uma aula. As explicações são acompanhadas de demonstrações e de listas de exercícios, cujas respostas e orientações estão reunidas na seção final intitulada “Respostas e sugestões”.  

O primeiro e o segundo capítulo apresentam questões básicas, que devem ser aprendidas da melhor maneira para que o conteúdo do livro seja bem compreendido. O primeiro, “Inteiros”, apresenta axiomas e propriedades básicas; o segundo, “Divisão nos inteiros”, discute conceitos de divisão com resto e de divisibilidade. Após essa introdução conceitual, os capítulos seguintes utilizam como referência a sequência de números inteiros disponível no site On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS). 

O terceiro capítulo, “Números primos”, explora origens, propriedades e aplicações dessa sequência. Em “O máximo divisor comum”, são debatidos conceitos de primalidade relativa, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum, além de propriedades especiais de algumas funções aritméticas. No quinto capítulo, o autor aborda as equações diofantinas lineares, de modo a destacar como, em geral, são equações de difícil solução, mesmo que de formulação comum no cotidiano. Em seguida, o conteúdo apresentado no capítulo anterior é afunilado, dando atenção às equações diofantinas não lineares e mostrando que, apesar de apresentarem um grau ainda mais complexo de resolução, são de grande importância na área. 

No capítulo sete, “Congruências elementares”, são trabalhados o conceito e a aplicação de congruência, evidenciando como o uso dela é conveniente na teoria dos números. Dentro do tópico, o oitavo capítulo direciona o entendimento de congruência para as do tipo linear. Em seguida, o capítulo nove estuda as congruências lineares em sistemas, propondo as melhores formas de solucioná-los. Em “Congruências polinomiais”, são discutidas congruências que envolvem polinômios de grau maior que um, focando, na maior parte do tempo, o grau dois. Já o capítulo onze, “Congruências exponenciais”, insere no debate as congruências que envolvem exponenciação. Por fim, o capítulo doze aborda parte da teoria aditiva dos números, envolvendo também análise combinatória.

Dessa forma,Teoria dos números: uma abordagem didática com aplicações à criptografia aborda conceitos básicos, intermediários e avançados da teoria dos números através de um percurso que perpassa grande parte da história da matemática, abrangendo desde aspectos da antiguidade até a modernidade, além de trabalhar as aplicações computacionais dos conceitos. Trata-se de uma leitura recomendada não somente para alunos em formação, mas também para professores que buscam um apoio didático consistente e acessível. 

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